ФЭНДОМ


Метод расчёта линейных в установившемся режиме в отношении гармонических сигналов.

Этот метод использует обобщения понятий сопротивления, напряжения, силы тока (и прочих) до комплексных величин, являющихся функцией частоты.

Геометрическая интерпретация Править

Амплитуда и фаза Править

Harmonic amplitude geometry

Гармоническую функцию $ U(t) $ можно выразить формулой:

$ U(t) = A \cos(\omega t + \phi), $

где

  • $ A $амплитуда,
  • $ \omega = 2\pi f $ — циклическая частота,
  • $ \phi $ — начальная фаза.

Для электрических систем функция $ F(t) $ может описывать напряжение (приведено для примера), силу тока, магнитный поток, заряд, а также в приложении к электрическим средам — проекции электрического поля, плотности тока и т. п.

Эти два параметра можно представить в виде вектора на плоскости, где амплитуда — длина, а фаза — угол, отсчитанный по традиции от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Изменение сигнала по времени можно представить вращением вектора вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой скоростью ω, и тогда проекция вектора на ось x или у будет описывать гармоническую функцию:

$ U(t) = A_x \cos (\omega t) - A_y \sin (\omega t). $

Линейные преобразования гармонических функций Править

Любое линейное преобразование может увеличивать или уменьшать амплитуду на постоянное число раз и изменять фазу на постоянный угол, или добавлять и при том не меняет частоту. Так что возможно рассматривать поведение системы на определённой частоте, оперируя только амплитудой и фазой.

В геометрическом представлении сложение двух сигналов будет представляться в виде сложения двух векторов, усиление (или ослабление) — изменением длины, а сдвиг фазы — поворотом (изменением направления). Проекции векторов на оси координат также имеют важное значение. Гармонический сигнал с произвольной амплитудой и фазой можно представить как сумму двух сигналов — сигнала с нулевой фазой и сигнала с фазой $ \frac{\pi}2 $ (90°). Координаты по x и y при этом будут означать амплитуду этих компонентов.

Активное и реактивное сопротивление Править

Напряжение и ток на резисторе подчиняются закону Ома, и таким образом имеют одно значение фазы, а отношение их амплитудных значений равно сопротивлению.

Если же пропустить гармонический сигнал через конденсатор или катушку индуктивности, то амплитуды напряжения и тока также будут находиться в некотором соотношении, но разница в фазе будет составлять 90° для индуктивности и −90° для конденсатора. Это значит, что амплитуды тока и напряжения через них можно выразить в виде формулы:

$ U = IX, $

где $ X $ величина, называемая реактивным сопротивлением. При этом для положительного сдвига фазы $ X $ принимается положительным, а для отрицательного — отрицательным, что позволяет единообразно описывать индуктивность и ёмкость (сигналы с фазами +90° и −90° находятся в противофазе, то есть находятся в отрицательном соотношении). Значение реактивного сопротивления для индуктивности и ёмкости выражается формулами:

$ X_L = \omega L = 2 \pi f L, $
$ X_C = -\frac{1}{\omega C} = -\frac{1}{2\pi f C}. $

Понятие комплексной амплитуды Править

Геометрическую интерпретацию легко перенести на интерпретацию в комплексных числах, считая амплитуду модулем комплексного числа, а фазу — аргументом. Такое число называется комплексной амплитудой, и обозначается символом циркумфлекса («крышки») над символом амплитуды.

$ \hat U: |\hat U| = A, \arg \hat U = \phi. $

Разложение по координатам будет соответствовать действительной и мнимой части комплексной амплитуды. Сигнал таким образом можно выразить через комплексную амплитуду следующим образом:

$ U(t) = |\hat U|cos (\omega t + \arg \hat U) = \mathrm{Re}\, \hat U \cos (\omega t) - \mathrm{Im}\, \hat U \sin (\omega t) = \mathrm{Re}\, (\hat Ue^{i\omega t}). $

В такой системе сложение сигналов представимо сложением комплексных чисел.

Как изменение амплитуды сигнала, так и сдвиг фазы при этом представимы одной операцией, причём коэффициент передачи (усиления / ослабления) выражается модулем множителя, а сдвиг — его аргументом.

Расширение электротехнических законов на комплексные амплитуды Править

Закон Ома выражает соотношение напряжения (для простоты будем рассматривать закон Ома для участка цепи, в случае закона Ома для полной цепи всё аналогично до замены напряжения на ЭДС) и тока в цепи. Коэффициентом соответствия здесь служит сопротивление:

$ U = IR. $

Аналогом сопротивления в методе комплексных амплитуд является импеданс ($ \hat Z $). Таким образом закон Ома будет выглядеть так:

$ \hat U = \hat I \hat Z. $

Это позволяет единообразно описывать поведение как активного сопротивления, так и реактивного (конденсаторы, индуктивности) и производить с ними операции аналогично операциям с активным сопротивлением.