ФЭНДОМ


Метод расчёта линейных в установившемся режиме в отношении гармонических сигналов.

Этот метод использует обобщения понятий сопротивления, напряжения, силы тока (и прочих) до комплексных величин, являющихся функцией частоты.

Геометрическая интерпретация Править

Амплитуда и фаза Править

Harmonic amplitude geometry

Гармоническую функцию U(t) можно выразить формулой:

U(t) = A \cos(\omega t + \phi),

где

  • Aамплитуда,
  • \omega = 2\pi f — циклическая частота,
  • \phi — начальная фаза.

Для электрических систем функция F(t) может описывать напряжение (приведено для примера), силу тока, магнитный поток, заряд, а также в приложении к электрическим средам — проекции электрического поля, плотности тока и т. п.

Эти два параметра можно представить в виде вектора на плоскости, где амплитуда — длина, а фаза — угол, отсчитанный по традиции от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Изменение сигнала по времени можно представить вращением вектора вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой скоростью ω, и тогда проекция вектора на ось x или у будет описывать гармоническую функцию:

U(t) = A_x \cos (\omega t) - A_y \sin (\omega t).

Линейные преобразования гармонических функций Править

Любое линейное преобразование может увеличивать или уменьшать амплитуду на постоянное число раз и изменять фазу на постоянный угол, или добавлять и при том не меняет частоту. Так что возможно рассматривать поведение системы на определённой частоте, оперируя только амплитудой и фазой.

В геометрическом представлении сложение двух сигналов будет представляться в виде сложения двух векторов, усиление (или ослабление) — изменением длины, а сдвиг фазы — поворотом (изменением направления). Проекции векторов на оси координат также имеют важное значение. Гармонический сигнал с произвольной амплитудой и фазой можно представить как сумму двух сигналов — сигнала с нулевой фазой и сигнала с фазой \frac{\pi}2 (90°). Координаты по x и y при этом будут означать амплитуду этих компонентов.

Активное и реактивное сопротивление Править

Напряжение и ток на резисторе подчиняются закону Ома, и таким образом имеют одно значение фазы, а отношение их амплитудных значений равно сопротивлению.

Если же пропустить гармонический сигнал через конденсатор или катушку индуктивности, то амплитуды напряжения и тока также будут находиться в некотором соотношении, но разница в фазе будет составлять 90° для индуктивности и −90° для конденсатора. Это значит, что амплитуды тока и напряжения через них можно выразить в виде формулы:

U = IX,

где X величина, называемая реактивным сопротивлением. При этом для положительного сдвига фазы X принимается положительным, а для отрицательного — отрицательным, что позволяет единообразно описывать индуктивность и ёмкость (сигналы с фазами +90° и −90° находятся в противофазе, то есть находятся в отрицательном соотношении). Значение реактивного сопротивления для индуктивности и ёмкости выражается формулами:

X_L = \omega L = 2 \pi f L,
X_C = -\frac{1}{\omega C} = -\frac{1}{2\pi f C}.

Понятие комплексной амплитуды Править

Геометрическую интерпретацию легко перенести на интерпретацию в комплексных числах, считая амплитуду модулем комплексного числа, а фазу — аргументом. Такое число называется комплексной амплитудой, и обозначается символом циркумфлекса («крышки») над символом амплитуды.

\hat U: |\hat U| = A, \arg \hat U = \phi.

Разложение по координатам будет соответствовать действительной и мнимой части комплексной амплитуды. Сигнал таким образом можно выразить через комплексную амплитуду следующим образом:

U(t) = |\hat U|cos (\omega t + \arg \hat U) = \mathrm{Re}\, \hat U \cos (\omega t) - \mathrm{Im}\, \hat U \sin (\omega t)
= \mathrm{Re}\, (\hat Ue^{i\omega t}).

В такой системе сложение сигналов представимо сложением комплексных чисел.

Как изменение амплитуды сигнала, так и сдвиг фазы при этом представимы одной операцией, причём коэффициент передачи (усиления / ослабления) выражается модулем множителя, а сдвиг — его аргументом.

Расширение электротехнических законов на комплексные амплитуды Править

Закон Ома выражает соотношение напряжения (для простоты будем рассматривать закон Ома для участка цепи, в случае закона Ома для полной цепи всё аналогично до замены напряжения на ЭДС) и тока в цепи. Коэффициентом соответствия здесь служит сопротивление:

U = IR.

Аналогом сопротивления в методе комплексных амплитуд является импеданс (\hat Z). Таким образом закон Ома будет выглядеть так:

\hat U = \hat I \hat Z.

Это позволяет единообразно описывать поведение как активного сопротивления, так и реактивного (конденсаторы, индуктивности) и производить с ними операции аналогично операциям с активным сопротивлением.

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.