Метод комплексных амплитуд

Метод расчёта линейных в установившемся режиме в отношении гармонических сигналов.

Этот метод использует обобщения понятий сопротивления, напряжения, силы тока (и прочих) до комплексных величин, являющихся функцией частоты.

Геометрическая интерпретация

Амплитуда и фаза

Гармоническую функцию $U(t)$ можно выразить формулой:

$U(t)=A\cos(\omega t+\phi ),$

где

• $A$ — амплитуда,
• $\omega=2\pi f$ — циклическая частота,
• $\phi$ — начальная фаза.

Для электрических систем функция $F(t)$ может описывать напряжение (приведено для примера), силу тока, магнитный поток, заряд, а также в приложении к электрическим средам — проекции электрического поля, плотности тока и т. п.

Эти два параметра можно представить в виде вектора на плоскости, где амплитуда — длина, а фаза — угол, отсчитанный по традиции от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Изменение сигнала по времени можно представить вращением вектора вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой скоростью ω, и тогда проекция вектора на ось x или у будет описывать гармоническую функцию:

$U(t)=A_{x}\cos(\omega t)-A_{y}\sin(\omega t).$

Линейные преобразования гармонических функций

Любое линейное преобразование может увеличивать или уменьшать амплитуду на постоянное число раз и изменять фазу на постоянный угол, или добавлять и при том не меняет частоту. Так что возможно рассматривать поведение системы на определённой частоте, оперируя только амплитудой и фазой.

В геометрическом представлении сложение двух сигналов будет представляться в виде сложения двух векторов, усиление (или ослабление) — изменением длины, а сдвиг фазы — поворотом (изменением направления). Проекции векторов на оси координат также имеют важное значение. Гармонический сигнал с произвольной амплитудой и фазой можно представить как сумму двух сигналов — сигнала с нулевой фазой и сигнала с фазой $\frac{\pi}{2}$ (90°). Координаты по x и y при этом будут означать амплитуду этих компонентов.

Активное и реактивное сопротивление

Напряжение и ток на резисторе подчиняются закону Ома, и таким образом имеют одно значение фазы, а отношение их амплитудных значений равно сопротивлению.

Если же пропустить гармонический сигнал через конденсатор или катушку индуктивности, то амплитуды напряжения и тока также будут находиться в некотором соотношении, но разница в фазе будет составлять 90° для индуктивности и −90° для конденсатора. Это значит, что амплитуды тока и напряжения через них можно выразить в виде формулы:

$U=IX,$

где $X$ величина, называемая реактивным сопротивлением. При этом для положительного сдвига фазы $X$ принимается положительным, а для отрицательного — отрицательным, что позволяет единообразно описывать индуктивность и ёмкость (сигналы с фазами +90° и −90° находятся в противофазе, то есть находятся в отрицательном соотношении). Значение реактивного сопротивления для индуктивности и ёмкости выражается формулами:

$X_{L}=\omega L=2\pi fL,$

$X_C = -\frac{1}{\omega C} = -\frac{1}{2\pi f C}.$

Понятие комплексной амплитуды

Геометрическую интерпретацию легко перенести на интерпретацию в комплексных числах, считая амплитуду модулем комплексного числа, а фазу — аргументом. Такое число называется комплексной амплитудой, и обозначается символом циркумфлекса («крышки») над символом амплитуды.

${\hat {U}}:|{\hat {U}}|=A,\arg {\hat {U}}=\phi .$

Разложение по координатам будет соответствовать действительной и мнимой части комплексной амплитуды. Сигнал таким образом можно выразить через комплексную амплитуду следующим образом:

$U(t)=|{\hat {U}}|cos(\omega t+\arg {\hat {U}})=\mathrm {Re} \,{\hat {U}}\cos(\omega t)-\mathrm {Im} \,{\hat {U}}\sin(\omega t)=\mathrm {Re} \,({\hat {U}}e^{i\omega t}).$

В такой системе сложение сигналов представимо сложением комплексных чисел.

Как изменение амплитуды сигнала, так и сдвиг фазы при этом представимы одной операцией, причём коэффициент передачи (усиления / ослабления) выражается модулем множителя, а сдвиг — его аргументом.

Расширение электротехнических законов на комплексные амплитуды

Закон Ома выражает соотношение напряжения (для простоты будем рассматривать закон Ома для участка цепи, в случае закона Ома для полной цепи всё аналогично до замены напряжения на ЭДС) и тока в цепи. Коэффициентом соответствия здесь служит сопротивление:

$U=IR.$

Аналогом сопротивления в методе комплексных амплитуд является импеданс ($\hat Z$). Таким образом закон Ома будет выглядеть так:

${\hat {U}}={\hat {I}}{\hat {Z}}.$

Это позволяет единообразно описывать поведение как активного сопротивления, так и реактивного (конденсаторы, индуктивности) и производить с ними операции аналогично операциям с активным сопротивлением.